常用対数の近似値の算出
対数は「底$x$の値を何乗したら$z$になるか？」の指数を求めるもの、指定するものと捉える。
$z=x^y$での$y$を知りたい場合に$y=\log_{x}z$と書く。
常用対数は、対数の底が10のもの。
（※自然対数は対数の底がeのもの。${\rm e}^x$は微分しても${\rm e}^x$のままなので便利）
$\log_{10} 1 = 0, (10^0=1)$
$\log_{10} 2 \fallingdotseq 0.3$
$\log_{10} 2^{10}=\log_{10} 1024\fallingdotseq \log_{10} 1000=\log_{10}10^3=3\log_{10}10=3\cdot 1=3$
$\Rightarrow 10\log_{10}2\fallingdotseq3 \Rightarrow \log_{10}2\fallingdotseq \displaystyle\frac{3}{10}=0.3$
$\log_{10}3\fallingdotseq 0.475, (10^{0.5}=\sqrt{10}\fallingdotseq \sqrt{9}=3)$
$\log_{10}3^4=\log_{10}(9\cdot 9)=\log_{10}{81}\fallingdotseq \log_{10}80=\log_{10}(2^3\cdot 10) \Rightarrow 3\log_{10}2 + \log_{10}10 \fallingdotseq 3\cdot 0.3 + 1 = 1.9$
$\Rightarrow 4\log_{10}3\fallingdotseq 1.9 \Rightarrow \log_{10}3\fallingdotseq\displaystyle\frac{1.9}{4}=0.475$
$\Rightarrow 4\log_{10}3\fallingdotseq 1.9 \Rightarrow \log_{10}3\fallingdotseq\displaystyle\frac{1.9}{4}=0.475$
$\log_{10}4\fallingdotseq 0.6$
$\log_{10}4=\log_{10}2^2=2\log_{10}2\fallingdotseq 2\cdot0.3=0.6$
$\log_{10}5\fallingdotseq 0.7$
$\log_{10}5=\log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=\log_{10}10-\log_{10}2\fallingdotseq 1-0.3 = 0.7$
$\log_{10}6\fallingdotseq 0.775$
$\log_{10}6=\log_{10}(2\cdot 3)=\log_{10}2 + \log_{10}3\fallingdotseq 0.3 + 0.475 = 0.775$
$\log_{10}7=0.85$
$\log_{10}7^2=\log_{10}49\fallingdotseq \log_{10}50 = \log_{10}(5\cdot10) = \log_{10}5+\log_{10}10\fallingdotseq 0.7+1$
$\Rightarrow 2\log_{10}7\fallingdotseq 1.7 \Rightarrow \log_{10}7\fallingdotseq \displaystyle\frac{1.7}{2}=0.85$
高精度版）
$\log_{10}7^4=\log_{10}2401\fallingdotseq \log_{10}2400 = \log_{10}(24\cdot100) = \log_{10}8+\log_{10}3+\log_{10}100$
$=\log_{10}2^3+\log_{10}3+\log_{10}10^2=3\log_{10}2+\log_{10}3+2\log_{10}10\fallingdotseq 3\cdot 0.3 + 0.475 + 2\cdot 1.0=3.375$
$\Rightarrow4\log_{10}7=3.375\Rightarrow\log_{10}7\fallingdotseq 3.375/4=0.84375\fallingdotseq 0.844$
$\Rightarrow 2\log_{10}7\fallingdotseq 1.7 \Rightarrow \log_{10}7\fallingdotseq \displaystyle\frac{1.7}{2}=0.85$
高精度版）
$\log_{10}7^4=\log_{10}2401\fallingdotseq \log_{10}2400 = \log_{10}(24\cdot100) = \log_{10}8+\log_{10}3+\log_{10}100$
$=\log_{10}2^3+\log_{10}3+\log_{10}10^2=3\log_{10}2+\log_{10}3+2\log_{10}10\fallingdotseq 3\cdot 0.3 + 0.475 + 2\cdot 1.0=3.375$
$\Rightarrow4\log_{10}7=3.375\Rightarrow\log_{10}7\fallingdotseq 3.375/4=0.84375\fallingdotseq 0.844$
$\log_{10}8\fallingdotseq 0.9$
$\log_{10}8=\log_{10}2^3=3\log_{10}2\fallingdotseq 3\cdot 0.3 = 0.9$
$\log_{10}9\fallingdotseq 0.95$
$\log_{10}9=\log_{10}3^2=2\log_{10}3\fallingdotseq 2\cdot 0.475=0.95$
高精度版）
$\log_{10}9^7=\log_{10}4782969\fallingdotseq \log_{10} 4800000 = \log_{10} (6\cdot 8\cdot 10^5) = \log_{10} 6 + \log_{10} 8 + \log_{10} 10^5$
$= 0.775 + 0.9 + 5.0=6.675$
$\Rightarrow 7\log_{10}9=6.675 \Rightarrow \log_{10}9 \fallingdotseq 6.675/7=0.9537\cdots\fallingdotseq 0.954$
高精度版）
$\log_{10}9^7=\log_{10}4782969\fallingdotseq \log_{10} 4800000 = \log_{10} (6\cdot 8\cdot 10^5) = \log_{10} 6 + \log_{10} 8 + \log_{10} 10^5$
$= 0.775 + 0.9 + 5.0=6.675$
$\Rightarrow 7\log_{10}9=6.675 \Rightarrow \log_{10}9 \fallingdotseq 6.675/7=0.9537\cdots\fallingdotseq 0.954$
$\log_{10}10=1, (10^1=10)$
おまけ：$\log_{10}11\fallingdotseq 1.04$
$\log_{10}11^5=\log_{10}161051\fallingdotseq \log_{10}160000=\log_{10}2^4\cdot10^4=4(\log_{10}2+\log_{10}10)\fallingdotseq 4(0.3+1.0)$
$\Rightarrow 5\log_{10}11=4\cdot1.3\Rightarrow \log_{10}11\fallingdotseq \displaystyle\frac{4}{5}1.3=0.8\cdot 1.3=1.04$
$\Rightarrow 5\log_{10}11=4\cdot1.3\Rightarrow \log_{10}11\fallingdotseq \displaystyle\frac{4}{5}1.3=0.8\cdot 1.3=1.04$
この近似をプロットすると下図のようになる。$\log_{10}7$と$\log_{10}9$は他に比べて誤差が大きいので、高精度版を赤色として示した。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 近似値 | 0 | 0.3 | 0.475 | 0.6 | 0.7 | 0.775 | 0.85 | 0.9 | 0.95 | 1 |
| 真値 | 0.000 | 0.3010 | 0.4771 | 0.6021 | 0.6990 | 0.7782 | 0.8451 | 0.9031 | 0.9542 | 1.000 |
| 誤差 | 0 | 0.0010 | 0.0021 | 0.0021 | 0.0010 | 0.0032 | 0.0049 | 0.0031 | 0.0042 | 0 |
観察
- 1～10で、$\log_{10}$は0～1になる。
- 3で$\log_{10}$は約0.45で、ざっくり半分に到達する。
- 2は$\log_{10}$は約0.3で、$4=2^2$, $8=2^3$だと$\log_{10}$はそれぞれ2,3倍の約0.6,0.9となる。8の際に既にほぼ1に近いことに注意。
- 5は10/2で、$\log_{10}$は$1-\log_{10}2$となるので約0.7。1と10の両端側からの距離でいうと2の場合と同じで約0.3。
- 倍になると、対数では同じだけ増加する。
例）
$\log_{10}2=0.3\stackrel{\times 2}{\longrightarrow}\log_{10}4=0.6\stackrel{\times 2}{\longrightarrow}\log_{10}8=0.9$,
$\log_{10}3=0.475\stackrel{\times 3}{\longrightarrow}\log_{10}9=0.95$,
$\log_{10}5=0.7\stackrel{\times 2}{\longrightarrow}\log_{10}10=1.0$
$\log aM=\log a + \log M$より、$a$倍されていれば、$\log a$分だけ増加する（割れば$\log a$だけ減少する）。$\rightarrow$掛け算・割り算が同じ距離の変化になる。 -
2で割ると$\log_{10}$では0.3減少するので、これを用いると
$\log_{10}3/2(=\log_{10}1.5)\fallingdotseq 0.475-0.3=0.175$
$\log_{10}5/2(=\log_{10}2.5)\fallingdotseq 0.7-0.3=0.4$
$\log_{10}7/2(=\log_{10}3.5)\fallingdotseq 0.85-0.3=0.55$
$\log_{10}9/2(=\log_{10}4.5)\fallingdotseq 0.95-0.3=0.65$となる。1/2も求めてみると、
$\log_{10}1/2(=\log_{10}0.5)\fallingdotseq 0-0.3=-0.3$となる。
$\log_{10}0.5=\log_{10}\displaystyle\frac{5}{10}=\log_{10}5-\log_{10}10\fallingdotseq 0.7-1=-0.3$でも結果は同様。
参考リンク
- 常用対数の覚え方と検算への応用 | 高校数学の美しい物語
- 対数の基本的な性質とその証明 | 高校数学の美しい物語
- 【基本】対数の性質（積や累乗の対数） | なかけんの数学ノート
- 【高校数学Ⅱ】対数の定義、対数の性質・底の変換公式・裏技公式の証明 | 受験の月
- 対数の性質が成り立つ理由｜数学｜苦手解決Q&A｜進研ゼミ高校講座｜ベネッセコーポレーション
- 常用対数log_10 7 の近似値に関する一考察（結川＠豊岡高） 数研出版
- 常用対数について – 常用対数を関数電卓を使わずに正確に計算する方法… – Yahoo!知恵袋
- log[10]2の求め方 – 対数表によると、log[10]2は約0.301だというこ… – Yahoo!知恵袋
- 【3分動画】常用対数の近似値を求める 数学II 指数関数と対数関数 – YouTube
- 常用対数を普通の電卓だけで計算する方法 – YouTube
- 【3分動画】常用対数の近似値を求める 数学II 指数関数と対数関数 – YouTube