常用対数の近似値の算出

対数は「底 $x$ の値を何乗したら $z$ になるか？」の指数を求めるもの、指定するものと捉える。
$z = x^{y}$ での $y$ を知りたい場合に $y = \log_{x} z$ と書く。

常用対数は、対数の底が10のもの。
（※自然対数は対数の底がeのもの。 $e^{x}$ は微分しても $e^{x}$ のままなので便利）

$\log_{10} 1 = 0, (10^{0} = 1)$
$\log_{10} 2 ≒ 0.3$

\log_{10} 2^{10} = \log_{10} 1024 ≒ \log_{10} 1000 = \log_{10} 10^{3} = 3 \log_{10} 10 = 3 \cdot 1 = 3

$\Rightarrow 10 \log_{10} 2 ≒ 3 \Rightarrow \log_{10} 2 ≒ \frac{3}{10} = 0.3$

$\log_{10} 3 ≒ 0.475, (10^{0.5} = \sqrt{10} ≒ \sqrt{9} = 3)$

\log_{10} 3^{4} = \log_{10} (9 \cdot 9) = \log_{10} 81 ≒ \log_{10} 80 = \log_{10} (2^{3} \cdot 10) \Rightarrow 3 \log_{10} 2 + \log_{10} 10 ≒ 3 \cdot 0.3 + 1 = 1.9

\Rightarrow 4 \log_{10} 3 ≒ 1.9 \Rightarrow \log_{10} 3 ≒ \frac{1.9}{4} = 0.475

$\log_{10} 4 ≒ 0.6$

\log_{10} 4 = \log_{10} 2^{2} = 2 \log_{10} 2 ≒ 2 \cdot 0.3 = 0.6

$\log_{10} 5 ≒ 0.7$

\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 ≒ 1 - 0.3 = 0.7

$\log_{10} 6 ≒ 0.775$

\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \cdot 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 ≒ 0.3 + 0.475 = 0.775

$\log_{10} 7 = 0.85$

\log_{10} 7^{2} = \log_{10} 49 ≒ \log_{10} 50 = \log_{10} (5 \cdot 10) = \log_{10} 5 + \log_{10} 10 ≒ 0.7 + 1

\Rightarrow 2 \log_{10} 7 ≒ 1.7 \Rightarrow \log_{10} 7 ≒ \frac{1.7}{2} = 0.85

高精度版）

\log_{10} 7^{4} = \log_{10} 2401 ≒ \log_{10} 2400 = \log_{10} (24 \cdot 100) = \log_{10} 8 + \log_{10} 3 + \log_{10} 100

= \log_{10} 2^{3} + \log_{10} 3 + \log_{10} 10^{2} = 3 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 + 2 \log_{10} 10 ≒ 3 \cdot 0.3 + 0.475 + 2 \cdot 1.0 = 3.375

\Rightarrow 4 \log_{10} 7 = 3.375 \Rightarrow \log_{10} 7 ≒ 3.375 / 4 = 0.84375 ≒ 0.844

$\log_{10} 8 ≒ 0.9$

\log_{10} 8 = \log_{10} 2^{3} = 3 \log_{10} 2 ≒ 3 \cdot 0.3 = 0.9

$\log_{10} 9 ≒ 0.95$

\log_{10} 9 = \log_{10} 3^{2} = 2 \log_{10} 3 ≒ 2 \cdot 0.475 = 0.95

高精度版）

\log_{10} 9^{7} = \log_{10} 4782969 ≒ \log_{10} 4800000 = \log_{10} (6 \cdot 8 \cdot 10^{5}) = \log_{10} 6 + \log_{10} 8 + \log_{10} 10^{5}

= 0.775 + 0.9 + 5.0 = 6.675

\Rightarrow 7 \log_{10} 9 = 6.675 \Rightarrow \log_{10} 9 ≒ 6.675 / 7 = 0.9537 \dots ≒ 0.954

$\log_{10} 10 = 1, (10^{1} = 10)$

おまけ： $\log_{10} 11 ≒ 1.04$

\log_{10} 11^{5} = \log_{10} 161051 ≒ \log_{10} 160000 = \log_{10} 2^{4} \cdot 10^{4} = 4 (\log_{10} 2 + \log_{10} 10) ≒ 4 (0.3 + 1.0)

\Rightarrow 5 \log_{10} 11 = 4 \cdot 1.3 \Rightarrow \log_{10} 11 ≒ \frac{4}{5} 1.3 = 0.8 \cdot 1.3 = 1.04

この近似をプロットすると下図のようになる。 $\log_{10} 7$ と $\log_{10} 9$ は他に比べて誤差が大きいので、高精度版を赤色として示した。

観察

1～10で、 $\log_{10}$ は0～1になる。
3で $\log_{10}$ は約0.45で、ざっくり半分に到達する。
2は $\log_{10}$ は約0.3で、 $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ だと $\log_{10}$ はそれぞれ2,3倍の約0.6,0.9となる。8の際に既にほぼ1に近いことに注意。
5は10/2で、 $\log_{10}$ は $1 - \log_{10} 2$ となるので約0.7。1と10の両端側からの距離でいうと2の場合と同じで約0.3。
倍になると、対数では同じだけ増加する。
例）
$\log_{10} 2 = 0.3 \overset{\times 2}{⟶} \log_{10} 4 = 0.6 \overset{\times 2}{⟶} \log_{10} 8 = 0.9$ ,
$\log_{10} 3 = 0.475 \overset{\times 3}{⟶} \log_{10} 9 = 0.95$ ,
$\log_{10} 5 = 0.7 \overset{\times 2}{⟶} \log_{10} 10 = 1.0$
$\log a M = \log a + \log M$ より、 $a$ 倍されていれば、 $\log a$ 分だけ増加する（割れば $\log a$ だけ減少する）。 $\to$ 掛け算・割り算が同じ距離の変化になる。
2で割ると $\log_{10}$ では0.3減少するので、これを用いると

$\log_{10} 3 / 2 (= \log_{10} 1.5) ≒ 0.475 - 0.3 = 0.175$
$\log_{10} 5 / 2 (= \log_{10} 2.5) ≒ 0.7 - 0.3 = 0.4$
$\log_{10} 7 / 2 (= \log_{10} 3.5) ≒ 0.85 - 0.3 = 0.55$
$\log_{10} 9 / 2 (= \log_{10} 4.5) ≒ 0.95 - 0.3 = 0.65$

となる。1/2も求めてみると、

$\log_{10} 1 / 2 (= \log_{10} 0.5) ≒ 0 - 0.3 = - 0.3$

となる。

$\log_{10} 0.5 = \log_{10} \frac{5}{10} = \log_{10} 5 - \log_{10} 10 ≒ 0.7 - 1 = - 0.3$

でも結果は同様。

2020年6月18日 in 未分類 | tags: 常用対数