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対数関連の公式

（関連記事：常用対数の近似値の算出）

対数は「$x$を何乗したら$z$になるか」を求めるものと捉える。
$z=x^y$での$y$を知りたい場合に$y=\log_{x}z$と書く。
$x$を底（base）、$z$を真数(anti-logarithm、逆対数)と呼ぶ。
底が10の場合を常用対数（$\log_{10}$）。底が${\rm e}$の場合を自然対数（natural logarithm）と呼び、$\log_{\rm e}$を$\ln$とも書く。

公式

  1. $z=x^y \Leftrightarrow y=\log_x z$,

  2. $x^{\log_x z}=x^y=z$（冪の底と指数にある対数の底が同じ場合は、指数部の対数の真数のみに）,

  3. $\log_\underline{x} \underline{x}^y = \log_{x}z =y$（対数の底と真数の冪の底が同じ場合は、真数の指数に）,

  4. $x^1=x \Leftrightarrow \log_x x = 1$, $x^0=1 \Leftrightarrow \log_x 1 = 0$,

  5. $z^p=(x^y)^p=\underbrace{x^y\cdot x^y\cdots x^y}_p=x^{\overbrace{y+y+\cdots+y}^p}=x^{py}$
    　　$\Rightarrow\log_x z^p=\log_x {(x^y)}^p=\log_x x^{py}=py=p\log_x{z}$（真数の指数は係数に出せる）

  6. $z_1=x^a, z_2=x^b; z_1z_2=x^ax^b=x^{a+b}$
    　　$\Leftrightarrow$
    　　$\log z_1z_2=\log x^ax^b=\log x^{a+b}$$=(a+b)\log x=a\log x + b\log x$$=\log x^a + \log x^b=\log z_1 + \log z_2$。
    　　$\log z_1/z_2=\log x^ax^{-b}=\log x^{a-b}$$=(a-b)\log x=a\log x – b\log x$$=\log x^a – \log x^b=\log z_1 – \log z_2$。
    　　（対数を取ると、乗除が加減算に）

  7. $z=x^y$で両辺の対数を取ると、$\log_a z = \log_a x^y = y\log_a x \Rightarrow y = \displaystyle\frac{\log_a z}{\log_a x}$。
    上式で、対数の底を$x$とすると$y = \displaystyle\frac{\log_x z}{\log_x x}=\displaystyle\frac{\log_x z}{1}=\log_x z$ $\Rightarrow \log_x z=\displaystyle\frac{\log_a z}{\log_a x}$ (対数の底の変換)
    逆に、対数の底を$z$とすると、$y = \displaystyle\frac{\log_z z}{\log_z x}=\displaystyle\frac{1}{\log_z x}$ $\Rightarrow \log_x z=\displaystyle\frac{1}{\log_z x}$（底と真数の入れ替えで逆数に）

  8. $\log_{x^p}z=\displaystyle\frac{\log_x z}{\log_x x^p}=\displaystyle\frac{\log_x z}{p\log_x x}=\displaystyle\frac{\log_x z}{p\cdot 1}=\displaystyle\frac{1}{p}\log_x z=\log_x z^\frac{1}{p}$（底の$p$乗は真数の$1/p$乗）
    　　$\left(y=\log_{x^p}z\Leftrightarrow (x^p)^y=(x^y)^p=z\Rightarrow x^y=\sqrt[p]{z}=z^{\frac{1}{p}}\Leftrightarrow y=\log_x{z^{\frac{1}{p}}} \right)$

  9. $\log_{x^p}z^p=\displaystyle\frac{\log_a z^p}{\log_a x^p}=\displaystyle\frac{\cancel{p}\log_a z}{\cancel{p}\log_a x}=\displaystyle\frac{\log_a z}{\log_a x}=\log_x z$（底と真数の$p$乗は相殺）
    　　$\left(上式で底をxとして、\log_{x^p}z^p=\displaystyle\frac{\log_x z^p}{\log_x x^p}=\displaystyle\frac{\cancel{p}\log_x z}{\cancel{p}\log_x x}=\displaystyle\frac{\log_x z}{1}=\log_x z\right)$
    　　$\left(z^p=(x^p)^y=(x^y)^p \Rightarrow \sqrt[p]{z^p}=\sqrt[p]{(x^y)^p} \Rightarrow z=x^y \right)$

  10. $\log_a b\cdot \log_b c=\displaystyle\frac{\cancel{\log_x b}}{\log_x a}\displaystyle\frac{\log_x c}{\cancel{\log_x b}}=\displaystyle\frac{\log_x c}{\log_x a}=\log_a c$（真数と底の連鎖で相殺）
    　　$\left(上式で底をaとして、\log_a b\cdot \log_b c=\cancel{\log_a b}\displaystyle\frac{\log_a c}{\cancel{\log_a b}}=\log_a c\right)$

  11. 常用対数から自然対数への変換 $\ln z=\displaystyle\frac{\log_{10}z}{\log_{10}{\rm e}}=\displaystyle\frac{\log_{10}z}{\log_{10}2.718\cdots}=\displaystyle\frac{\log_{10}z}{0.434\cdots}\fallingdotseq 2.3\log_{10}z$

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2020年7月3日 in 未分類 | tags:

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