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常用対数の近似値の算出

対数は「底$x$の値を何乗したら$z$になるか?」の指数を求めるもの、指定するものと捉える。
$z=x^y$での$y$を知りたい場合に$y=\log_{x}z$と書く。

常用対数は、対数の底が10のもの。
(※自然対数は対数の底がeのもの。${\rm e}^x$は微分しても${\rm e}^x$のままなので便利)

$\log_{10} 1 = 0, (10^0=1)$
$\log_{10} 2 \fallingdotseq 0.3$

$\log_{10} 2^{10}=\log_{10} 1024\fallingdotseq \log_{10} 1000=\log_{10}10^3=3\log_{10}10=3\cdot 1=3$

$\Rightarrow 10\log_{10}2\fallingdotseq3 \Rightarrow \log_{10}2\fallingdotseq \displaystyle\frac{3}{10}=0.3$

$\log_{10}3\fallingdotseq 0.475, (10^{0.5}=\sqrt{10}\fallingdotseq \sqrt{9}=3)$

$\log_{10}3^4=\log_{10}(9\cdot 9)=\log_{10}{81}\fallingdotseq \log_{10}80=\log_{10}(2^3\cdot 10) \Rightarrow 3\log_{10}2 + \log_{10}10 \fallingdotseq 3\cdot 0.3 + 1 = 1.9$
$\Rightarrow 4\log_{10}3\fallingdotseq 1.9 \Rightarrow \log_{10}3\fallingdotseq\displaystyle\frac{1.9}{4}=0.475$

$\log_{10}4\fallingdotseq 0.6$

$\log_{10}4=\log_{10}2^2=2\log_{10}2\fallingdotseq 2\cdot0.3=0.6$

$\log_{10}5\fallingdotseq 0.7$

$\log_{10}5=\log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=\log_{10}10-\log_{10}2\fallingdotseq 1-0.3 = 0.7$

$\log_{10}6\fallingdotseq 0.775$

$\log_{10}6=\log_{10}(2\cdot 3)=\log_{10}2 + \log_{10}3\fallingdotseq 0.3 + 0.475 = 0.775$

$\log_{10}7=0.85$

$\log_{10}7^2=\log_{10}49\fallingdotseq \log_{10}50 = \log_{10}(5\cdot10) = \log_{10}5+\log_{10}10\fallingdotseq 0.7+1$
$\Rightarrow 2\log_{10}7\fallingdotseq 1.7 \Rightarrow \log_{10}7\fallingdotseq \displaystyle\frac{1.7}{2}=0.85$
高精度版)
$\log_{10}7^4=\log_{10}2401\fallingdotseq \log_{10}2400 = \log_{10}(24\cdot100) = \log_{10}8+\log_{10}3+\log_{10}100$
$=\log_{10}2^3+\log_{10}3+\log_{10}10^2=3\log_{10}2+\log_{10}3+2\log_{10}10\fallingdotseq 3\cdot 0.3 + 0.475 + 2\cdot 1.0=3.375$
$\Rightarrow4\log_{10}7=3.375\Rightarrow\log_{10}7\fallingdotseq 3.375/4=0.84375\fallingdotseq 0.844$

$\log_{10}8\fallingdotseq 0.9$

$\log_{10}8=\log_{10}2^3=3\log_{10}2\fallingdotseq 3\cdot 0.3 = 0.9$

$\log_{10}9\fallingdotseq 0.95$

$\log_{10}9=\log_{10}3^2=2\log_{10}3\fallingdotseq 2\cdot 0.475=0.95$
高精度版)
$\log_{10}9^7=\log_{10}4782969\fallingdotseq \log_{10} 4800000 = \log_{10} (6\cdot 8\cdot 10^5) = \log_{10} 6 + \log_{10} 8 + \log_{10} 10^5$
$= 0.775 + 0.9 + 5.0=6.675$
$\Rightarrow 7\log_{10}9=6.675 \Rightarrow \log_{10}9 \fallingdotseq 6.675/7=0.9537\cdots\fallingdotseq 0.954$

$\log_{10}10=1, (10^1=10)$

おまけ:$\log_{10}11\fallingdotseq 1.04$

$\log_{10}11^5=\log_{10}161051\fallingdotseq \log_{10}160000=\log_{10}2^4\cdot10^4=4(\log_{10}2+\log_{10}10)\fallingdotseq 4(0.3+1.0)$
$\Rightarrow 5\log_{10}11=4\cdot1.3\Rightarrow \log_{10}11\fallingdotseq \displaystyle\frac{4}{5}1.3=0.8\cdot 1.3=1.04$

この近似をプロットすると下図のようになる。$\log_{10}7$と$\log_{10}9$は他に比べて誤差が大きいので、高精度版を赤色として示した。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
近似値 0 0.3 0.475 0.6 0.7 0.775 0.85 0.9 0.95 1
真値 0.000 0.3010 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542 1.000
誤差 0 0.0010 0.0021 0.0021 0.0010 0.0032 0.0049 0.0031 0.0042 0

観察

  • 1~10で、$\log_{10}$は0~1になる。
  • 3で$\log_{10}$は約0.45で、ざっくり半分に到達する。
  • 2は$\log_{10}$は約0.3で、$4=2^2$, $8=2^3$だと$\log_{10}$はそれぞれ2,3倍の約0.6,0.9となる。8の際に既にほぼ1に近いことに注意。
  • 5は10/2で、$\log_{10}$は$1-\log_{10}2$となるので約0.7。1と10の両端側からの距離でいうと2の場合と同じで約0.3。
  • 倍になると、対数では同じだけ増加する。
    例)
    $\log_{10}2=0.3\stackrel{\times 2}{\longrightarrow}\log_{10}4=0.6\stackrel{\times 2}{\longrightarrow}\log_{10}8=0.9$,
    $\log_{10}3=0.475\stackrel{\times 3}{\longrightarrow}\log_{10}9=0.95$,
    $\log_{10}5=0.7\stackrel{\times 2}{\longrightarrow}\log_{10}10=1.0$
    $\log aM=\log a + \log M$より、$a$倍されていれば、$\log a$分だけ増加する(割れば$\log a$だけ減少する)。$\rightarrow$掛け算・割り算が同じ距離の変化になる。

  • 2で割ると$\log_{10}$では0.3減少するので、これを用いると

    $\log_{10}3/2(=\log_{10}1.5)\fallingdotseq 0.475-0.3=0.175$
    $\log_{10}5/2(=\log_{10}2.5)\fallingdotseq 0.7-0.3=0.4$
    $\log_{10}7/2(=\log_{10}3.5)\fallingdotseq 0.85-0.3=0.55$
    $\log_{10}9/2(=\log_{10}4.5)\fallingdotseq 0.95-0.3=0.65$

    となる。1/2も求めてみると、

    $\log_{10}1/2(=\log_{10}0.5)\fallingdotseq 0-0.3=-0.3$

    となる。

    $\log_{10}0.5=\log_{10}\displaystyle\frac{5}{10}=\log_{10}5-\log_{10}10\fallingdotseq 0.7-1=-0.3$

    でも結果は同様。

参考リンク

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