1. $z=x^y\iff y={\log }_{x}z$,

2. $x^{{\log }_{x}z}=x^y=z$（冪の底と指数にある対数の底が同じ場合は、指数部の対数の真数のみに）,

3. ${\log }_{\underset{―}{x}}{\underset{―}{x}}^y={\log }_{x}z=y$（対数の底と真数の冪の底が同じ場合は、真数の指数に）,

4. $x^1=x\iff {\log }_{x}x=1$, $x^0=1\iff {\log }_{x}1=0$,

5. $z^p=(x^y{)}^p=\underset{p}{\underbrace{x^y\cdot x^y\cdots x^y}}=x^{\stackrel{p}{\overbrace{y+y+\cdots +y}}}=x^{py}$
   　　$\Rightarrow {\log }_x{z}^p={\log }_x{(x^y)}^p={\log }_x{x}^{py}=py=p{\log }_{x}z$（真数の指数は係数に出せる）

6. $z_1=x^a,z_2=x^b;z_1{z}_2=x^a{x}^b=x^{a+b}$
   　　$\iff$
   　　$\log z_1{z}_2=\log x^a{x}^b=\log x^{a+b}$$=(a+b)\log x=a\log x+b\log x$$=\log x^a+\log x^b=\log z_1+\log z_2$。
   　　$\log z_1/z_2=\log x^a{x}^{-b}=\log x^{a-b}$$=(a-b)\log x=a\log x–b\log x$$=\log x^a–\log x^b=\log z_1–\log z_2$。
   　　（対数を取ると、乗除が加減算に）

7. $z=x^y$で両辺の対数を取ると、${\log }_{a}z={\log }_a{x}^y=y{\log }_{a}x\Rightarrow y={\displaystyle \frac{{\log }_{a}z}{{\log }_{a}x}}$。
   上式で、対数の底を$x$とすると$y={\displaystyle \frac{{\log }_{x}z}{{\log }_{x}x}={\displaystyle \frac{{\log }_{x}z}{1}={\log }_{x}z}}$ $\Rightarrow {\log }_{x}z={\displaystyle \frac{{\log }_{a}z}{{\log }_{a}x}}$ (対数の底の変換)
   逆に、対数の底を$z$とすると、$y={\displaystyle \frac{{\log }_{z}z}{{\log }_{z}x}={\displaystyle \frac{1}{{\log }_{z}x}}}$ $\Rightarrow {\log }_{x}z={\displaystyle \frac{1}{{\log }_{z}x}}$（底と真数の入れ替えで逆数に）

8. ${\log }_{x^p}z={\displaystyle \frac{{\log }_{x}z}{{\log }_x{x}^p}={\displaystyle \frac{{\log }_{x}z}{p{\log }_{x}x}={\displaystyle \frac{{\log }_{x}z}{p\cdot 1}={\displaystyle \frac{1}{p}{\log }_{x}z={\log }_x{z}^{\frac{1}{p}}}}}}$（底の$p$乗は真数の$1/p$乗）
   　　$(y={\log }_{x^p}z\iff (x^p{)}^y=(x^y{)}^p=z\Rightarrow x^y=\sqrt[p]{z}=z^{\frac{1}{p}}\iff y={\log }_x{z}^{\frac{1}{p}})$

9. ${\log }_{x^p}{z}^p={\displaystyle \frac{{\log }_a{z}^p}{{\log }_a{x}^p}={\displaystyle \frac{\cancel{p}{\log }_{a}z}{\cancel{p}{\log }_{a}x}={\displaystyle \frac{{\log }_{a}z}{{\log }_{a}x}={\log }_{x}z}}}$（底と真数の$p$乗は相殺）
   　　$(\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{で}\mathrm{底}\mathrm{を}x\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}、{\log }_{x^p}{z}^p={\displaystyle \frac{{\log }_x{z}^p}{{\log }_x{x}^p}={\displaystyle \frac{\cancel{p}{\log }_{x}z}{\cancel{p}{\log }_{x}x}={\displaystyle \frac{{\log }_{x}z}{1}={\log }_{x}z}}})$
   　　$(z^p=(x^p{)}^y=(x^y{)}^p\Rightarrow \sqrt[p]{z^p}=\sqrt[p]{(x^y{)}^p}\Rightarrow z=x^y)$

10. ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\displaystyle \frac{\cancel{{\log }_{x}b}}{{\log }_{x}a}{\displaystyle \frac{{\log }_{x}c}{\cancel{{\log }_{x}b}}={\displaystyle \frac{{\log }_{x}c}{{\log }_{x}a}={\log }_{a}c}}}$（真数と底の連鎖で相殺）
    　　$(\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{で}\mathrm{底}\mathrm{を}a\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}、{\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c=\cancel{{\log }_{a}b}{\displaystyle \frac{{\log }_{a}c}{\cancel{{\log }_{a}b}}={\log }_{a}c})$

11. 常用対数から自然対数への変換 $\ln z={\displaystyle \frac{{\log }_{10}z}{{\log }_{10}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{{\log }_{10}z}{{\log }_{10}2.718\cdots }={\displaystyle \frac{{\log }_{10}z}{0.434\cdots }\fallingdotseq 2.3{\log }_{10}z}}}$

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